Характеристическое уравнение линейного оператора

Характеристическое уравнение линейного оператора

18. Характеристическое уравнение линейного оператора. Собственные векторы линейного оператора и их свойства.

Если в базисе линейный оператор имеет матрицу А, а в базисе () оператор имеет матрицу В

λ – произвольное число ≠0

Е – единичная матрица

Если характеристически многочлен линейного оператора прировнять к 0, получим характеристическое уравнение линейного оператора.

Собственные векторы линейного оператора

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора, если оператор к , получим этот же , умноженный на некоторое к.

к – собственное число оператора А=

Каждый собственный вектор имеет единственное собственное число.

19. Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми.

Векторное уравнение прямой.

Положение прямой можно задать по точке и направляющему вектору.

Пусть прямая L задана ее точкой M(x;y;z) и направляющим вектором S(m;n;p). Возьмем на прямой L точку M(x;y;z). Обозначим радиус-векторы точек M и M через r и r.

Тогда уравнение прямой запишется в виде:

где t – скалярный множитель (параметр).

Параметрические уравнения прямой.

Канонические уравнения прямой.

S(m;n;p) – направляющий вектор прямой L. M(x;y;z) – точка на прямой. соединяет M с произвольной точкой М.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

В качестве направляющего вектора можно задать вектор

, тогда

Общее уравнение прямой.

Уравнение прямой как линию пересечения двух плоскостей. Рассмотрим:

Т.к. прямая перпендикулярна векторам n1 и n2 то направляющий вектор запишется как векторное произведение:

Угол между прямыми.

;

20. Плоскость в пространстве. Виды уравнения плоскостей. Угол между плоскостями.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному вектору.

Пусть плоскость задана точкой M(x;y;z) и вектором , перпендикулярной этой плоскости.

Возьмем произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор . При любом расположении точки М на плоскости Q , поэтому .

Читайте также:  Динамики jbl charge 2 plus

Общее уравнение плоскости.

· Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0)

· Если С=0 то вектор . Следовательно, плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если А=0 – то ox.

· Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz. Аналогично при A=D=0 и B=D=0.

· Если А=В=0 то уравнение примет вид плоскость параллельна плоскости Oxy.

· Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение плоскости Oxy.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Возьмем на плоскости точку P (x;y;z).

Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно они компланарны:

Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки:

; ;

Рассмотрим линейный оператор А: L → L, действующий в линейном пространстве L. Выберем в линейном пространстве L некоторый базис b и запишем в этом базисе матрицу А = (аij) линейного оператора А. Согласно следствию 4.3 матрица А — λЕ является матрицей линейного оператора А — λI, где I — тождественный оператор. Определитель det(А — λЕ) матрицы линейного оператора А — λI, согласно следствию 4.2, от выбора базиса не зависит. Значит, характеристический многочлен χA(λ) матрицы А является также характеристическим многочленом любой другой матрицы оператора А и совпадает с определителем линейного оператора А — λI. Мы можем ввести следующее определение.

Определение 5.2. Характеристическим многочленом линейного оператора А: L → L называют характеристический многочлен его матрицы А, записанной в некотором базисе, а характеристическим уравнением этого операторахарактеристическое уравнение матрицы А.

Определение корректно, так как характеристический мно-гочлен не зависит от выбора базиса. При этом коэффициенты dk характеристического многочлена, представленного в виде (5.1) , также не связаны с используемым базисом, т.е. являются инвариантами относительно выбора базиса. Другими словами, коэффициенты dk отражают свойства самого оператора, а не его матрицы А, являющейся записью оператора в конкретном базисе.

Читайте также:  Как позвонить с мобильного на добавочный номер

Коэффициенты dk могут быть выражены в виде многочленов от элементов матрицы оператора. Таким образом, хотя коэффициенты матрицы меняются при замене базиса, некото-рые выражения от этих коэффициентов остаются неизменными. Наиболее просто выражается коэффициент

равный сумме диагональных элементов матрицы А. Этот коэффициент называют следом линейного оператора А (следом матрицы А) и обозначают trA (trA) или spA (spA). Коэффициент d характеристического многочлена совпадает со значением этого многочлена при λ = 0 и равен определителю линейного оператора А.

Пример 5.2. В линейном пространстве К2[х] многочленов степени не выше двух элементы 1, х, х2 образуют базис. Матрица А линейного оператора дифференцирования в этом базисе имеет вид

и приравняв его нулю, получим характеристическое уравнение этого линейного оператора: λ 3 = 0.

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Математика Характеристическое уравнение линейного оператора

Теорема 13.1. В случае если линœейный оператор f в некотором базисе имеет матрицу А и в базисе матрицу B, то где — произвольное число; Е — единичная матрица порядка n.

Заметим, что является многочленом степени n относительно .

Определœение 9. Многочлен принято называть характеристическим многочленом матрицы А или оператора f.

Определœение 10. Характеристическим уравнением линœейного оператора f принято называть уравнение

,

где А — матрица этого оператора в некотором базисе.

Уравнение принято называть также характеристическим уравнением матрицы А, а его корни – характеристическими числами линœейного оператора, а также матрицы А.

Теорема 13.1 утверждает, что характеристический многочлен оператора не зависит от выбора базиса.

Определœение 11. Система всœех характеристических чисел линœейного оператора принято называть его спектром.

Пусть линœейный оператор f имеет в некотором базисе матрицу

.

Характеристическим уравнением его будет следующее уравнение:

Читайте также:  Как восстановить загрузчик grub после установки windows

или, выполняя вычитание матриц,

Определœение 12. Решения этого уравнения называются собственными числами матрицы A.

Каждому собственному числу соответствует набор векторов , называемых собственными векторами, они удовлетворяют уравнению . Заметим, что если собственный вектор, соответствующий собственному числу , то этому же числу соответствует и вектор вида где произвольное число.

Читайте также

Теорема 13.1. Если линейный оператор f в некотором базисе имеет матрицу А и в базисе матрицу B, то где — произвольное число; Е — единичная матрица порядка n. Заметим, что является многочленом степени n относительно . Определение 9. Многочлен называется характеристическим. [читать подробенее]

Связь между координатами одного и того же линейного оператора в разных базисах. Т – матрица перехода от e к e’ , то: Если линейный оператор имеет в базисе невырожденную матрицу Т, матрица этого оператора в любом другом базисе не будет вырождена. Если в. [читать подробенее]

Ссылка на основную публикацию
Фото с листком для вк
Сигна в ВК – это просто фотография человека с листком бумаги, на котором обычно написано чье-то имя. Часто надписи делают...
Установка виндовс зависла на начало установки
Если вы решили переустановить или установить операционную систему, но начало установки Windows 7 зависает, то в этой статье, думаю, вы...
Установка драйвера принтера отказ
Нередки ситуации, когда не устанавливается принтер, хотя система видит, что к компьютеру подсоединилось новое оборудование. Решение такой задачи требует серьезного...
Фото спортивных мужчин 40 лет
17. Джерард Батлер, 48 лет (kinopoisk) «Законопослушный гражданин» Джерард Батлер когда-то работал официантом, демонстратором игрушек и даже юристом. Он также...
Adblock detector