Формула бинома ньютона треугольник паскаля

Формула бинома ньютона треугольник паскаля

Урок и презентация на тему: "Треугольник Паскаля. Бином Ньютона"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Ребята, на прошлом уроке мы с вами изучали перестановки и размещения. Сегодня мы остановимся на одном из самых замечательных применением формулы перестановок.
Числа $C_n^$ имеют очень красивую и знаменитую запись, которая имеет большое значение. Такая запись называется треугольником Паскаля:
Правило записи треугольника легко запомнить. Каждое число в треугольнике паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ними в предыдущей строке. Давайте распишем несколько строк:
Математически свойство подсчета числа сочетаний без повторений можно записать еще вот так:
Как оказалось треугольника Паскаля находит свое применение и в другой математической задаче. Давайте вспомним несколько правил возведения в квадрат суммы.
Самое первое правило, которое мы с вами выучили, это квадрат суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
Довольно таки легко найти выражение и для следующей степени, используя правила перемножения многочленов:
$(a+b)^3=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
Проделаем эту же операцию и для четвертой степени:
$(a+b)^4=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)(a+b)=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.

Выпишем для наглядности все наши формулы:
$(a+b)^1=a+b$.
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$(a+b)^3=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
$(a+b)^4=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)(a+b)=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.

Давайте проведем небольшой анализ полученных формул.

Обратить внимание: показатель степени в левой части равен сумме показателей степеней в правой части для любого слагаемого.

Для четвертой степени, очевидно, что слева показатель равен 4. В правой части показатель степени при первом слагаемом равен для а четырем, для b нулю и в сумме равен 4.

Для второго слагаемого сумма показателей равна $3+1=4$, для следующего — $2+2=4$ и так до самого конца сумма показателей равна 4.

Ребята, посмотрите внимательно на коэффициенты в правой части. Что он вам напоминает? Правильно, коэффициенты образуют треугольник Паскаля.

Эти два замечательных свойства, замеченных выше, позволяют вычислять сумму двух одночленов в n-ой степени:
$(a+b)^n=C_n^<0>a^n+C_n^<1>a^b+C_n^<2>a^b^2+C_n^<3>a^b^3+. +C_n^a^b^k+. +C_n^ab^+C_n^b^n$.

Давайте попробуем доказать нашу формулу:
Рассмотрим слагаемое, стоящее на месте под номером $k+1$. По написанной выше формуле получаем, вот такое слагаемое: $C_n^a^b^k$.
Нам нужно доказать, что коэффициент при данном одночлене как раз и равен $C_n^
$.
Для того, чтобы двучлен возвести в n-ую степень нам нужно этот двучлен умножить на себя n раз, то есть:
Чтобы получить требуемое слагаемое надо выбрать k штук множителей для b. Тогда получается $n-k$ множителей для а. В каком порядке будем выбирать данные множители не важно. Эта задача есть ни что иное как: число сочетаний из n элементов по k без повторений или $C_n^
$.
Наша формула доказана.

Читайте также:  Как подключить старый блок питания

Полученная нами формула называется "Бином Ньютона".

Коэффициенты, стоящие перед слагаемыми, это биномиальные коэффициенты.

Пример.
Раскрыть скобки:
а) $(y+1)^7$; б) $(z^2-3t)^5$.
Решение.
Применим нашу формулу:
$а(y+1)^7=C_7^<0>y^7+C_7^<1>*y^6*1+C_7^<2>*y^5*1^2+C_7^<3>*y^4*1^3+C_7^<4>*y^3*1^4+$
$+C_7^<5>*y^2*1^5+C_7^<6>*y*1^6+C_7^<7>*1^7$.

Вычислим все коэффициенты:
$C_7^<0>=1$; $C_7^<1>=7$; $C_7^2=frac<7!><2!5!>=21$; $C_7^3=35$; $C_7^4=35$; $C_7^5=21$; $C_7^6=7$; $C_7^7=1$.

В итоге получаем: $(y+1)^7=y^7+7*y^6+21*y^5+35*y^4+35*y^3+21*y^2+7*y+1$.

В конце урока обратим вниманием на еще одно удивительное свойство.
Рассмотрим двучлен: $(x+1)^n$.
Используя Бином Ньютона получим:
При $х=1$ получаем: $(x+1)^n=C_n^<0>x^n+C_n^<1>x^+C_n^<2>x^+C_n^<3>x^+. +C_n^x^<2>+C_n^x+C_n^$.
При $х=1$ получаем: $2^n=C_n^<0>+C_n^<1>+C_n^<2>+C_n^<3>+. +C_n^+C_n^+C_n^
$.

Выведем формулу, позволяющую возводить двучлен (бином) (а+b) в любую целую неотрицательную сте­пень. Это формула бинома Ньютона. Она имеет следующий вид:

.

Докажем данную формулу методом математической индукции по n, где n≥0.

Формула верна при n = 0, 1, 2. В самом деле,

;

;;

Пусть формула верна при n = k. Докажем ее при n = k + 1.

.

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые по степеням а, получим:

.

С учетом свойства 4 и того, что и , имеем:

Итак, индукция завершена, значит истинность формулы доказана.

В формуле бинома Ньютона для (а + b) n сумма степеней а и b в каждом слагаемом равна n. Числа называются биномиаль­ными коэффициентами. При вычислении биномиальных коэффициен­тов удобно применять треугольник Паскаля.

В качестве примера найдем: а) (a + b) 5 ; б) (х 2 -1) 4 :

а)

;

б)

Легко убедиться, что хорошо известные формулы сокращенного ум­ножения для (a + b) 2 и (a + b) 3 представляют собой частные случаи фор­мулы бинома Ньютона.

Упражнения

а) ;

б) ;

в) .

Напишите разложение по формуле бинома Ньютона и упростите при необходимости:

а) (a + b) 4 ; б) (a ― b) 4 ; в) (a + 2b) 5 ; г) (a – 2b) 5 ;

д) (1 + 2x) 5 ; е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) ; л) ; м) ;

н) ; о) ; п) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) ;

а) шестой член разложения (1 ― 2z) 21 ;

Читайте также:  Разлочка модема е173 мегафон

б) шестой член разложения ;

в) пятый член разложения ;

г) пятый член разложения ;

д) два средних члена разложения (a 3 -ab) 23 ;

е) в разложении член, не содержащий x;

ж) в разложении член, не содержащий z;

з) в разложении коэффициент при а 8 ;

и) в разложении коэффициент при х 4 ;

к) x, если третий член разложения (х +x lg x ) 5 равен 10 6 .

Самостоятельная работа по теме «Множества и элементы комбинаторики»

В конкурсе красоты участвуют 20 девушек. Сколько может быть вариантов распределения пяти призовых мест в этом конкурсе?

Сколькими способами 10 человек могут встать в очередь друг за другом?

а) шестой член разложения бинома ;

б) два средних члена разложения бинома .

Записать разложение бинома .

В селении проживают 2000 жителей. Доказать, что по крайней мере двое имеют одинаковые инициалы.

Соответствия и отношения

Основные знания, умения и навыки, которыми должны овладеть студенты в процессе изучения этой темы:

понимать смысл неопределяемых понятий «соответствие», «отношение»;

знать свойства соответствий и отношений, уметь их определять и приводить конкретные примеры;

знать основные типы соответствий и отношений.

Основные понятия темы: соответствие, отношение.

Пусть даны два произвольных множества A и B.

О п р е д е л е н и е 1. Декартовым (прямым) произведением множеств А и В называют множество, состоящее из всех упорядоченных пар вида , где и .

Символически это множество записывают так:

,

П р и м е р 1: Если А=<1, 2, 3>, а В=<0, 4>, то

;

.

Видим, что в общем случае .

Пусть даны два произвольных множества X, Y.

Тройка множеств , где , будем называть бинарным соответствием между множеством X и Y, множество A ― его графиком, множество X ― областью отправления, Y ― областью прибытия.

Если , то говорят, что элемент x находится с элементом y в соответствии f и пишут x f y, то есть .

Читайте также:  Moonfish qi fastcharge 2а

З а м е ч а н и е: Часто понятие бинарного соответствия определяют как любое подмножество А множества , то есть отождествляют его с графиком соответствия.

Множество называют областью определения соответствия f.

Множество называют областью значения соответствия f.

П р и м е р 1. Пусть , . Тогда тройка множеств , где и будет задавать соответствие между множествами R и R, графиком которого будет парабола. D(f)=R, E(f)=R + . .

П р и м е р 2: Пусть , . . , . График этого соответствия пред­ставляет собой полуплоскость.

Множество называют полным образом элемента x при соответствии f.

Множество называют полным прообразом элемента у при соответствии f.

Из определения и следует, что .

П р и м е р 3: Пусть X ― множество студентов в аудитории, У ― множе­ство столов, за которым они сидят. Зададим соответствие х f у «студент x сидит за столом y». Тогда:

Областью отправления этого соответствия будет множество всех студентов в аудитории;

Областью определения ― множество студентов, которые сидят за столами;

Областью прибытия ― множество столов в аудитории.

Областью значений ― множество столов, за которыми сидит хотя бы один студент;

Графиком соответствия будет множество пар «студент- стол»

Полным прообразом студента х будет стол, за которым он сидит;

Полным прообразом стола у будут все студенты, которые за ним сидят.

Этот рисунок задает соответствие между множествами:

и

График этого соответствия . , , , , , , , .

Из рассмотренных выше примеров видно, что соответствие может быть задано:

а) путем указания подмножества (графически);

б) аналитически; х f у у = f (х);

в) с помощью графов или таблиц.

Графом называют множество точек, некоторые пары из которых соединены линиями с направлениями (см. пример 4).

УВАЖАЕМЫЕ ПОСЕТИТЕЛИ САЙТА cartalana.org! САЙТ МОДЕРНИЗИРУЕТСЯ БЕЗ "ОТРЫВА ОТ ПРОИЗВОДСТВА" ☻ .

ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ, ПРЕДСТАВЛЕННАЯ НА САЙТЕ, В НАЛИЧИИ, ЛИШЬ ПОМЕНЯЛА СВОЙ АДРЕС.

ЧЕРЕЗ 10 СЕКУНД ВЫ БУДЕТЕ ПЕРЕНАПРАВЛЕНЫ НА СТРАНИЦУ, ГДЕ СМОЖЕТЕ НАЙТИ НУЖНЫЙ МАТЕРИАЛ.

Ссылка на основную публикацию
Установка виндовс зависла на начало установки
Если вы решили переустановить или установить операционную систему, но начало установки Windows 7 зависает, то в этой статье, думаю, вы...
Тс 6 силы в механике
Тест по физике Силы в механике для 10 класса с ответами. Тест включает в себя 2 варианта. В каждом варианте...
Тульские двери металлические отзывы
Рады представить вам новинку с двумя МДФ панелями- Тульскую дверь Б25 НОВИНКИ 2019 Тульская дверь Е4 ОРХИДЕЯ НОВИНКИ 2019 Тульская...
Установка драйвера принтера отказ
Нередки ситуации, когда не устанавливается принтер, хотя система видит, что к компьютеру подсоединилось новое оборудование. Решение такой задачи требует серьезного...
Adblock detector