Чему равен косинус в равнобедренном треугольнике

Чему равен косинус в равнобедренном треугольнике

Свойства

Основным элементом равнобедренного треугольника является высота, проведенная к основанию, она же медиана, она же биссектриса. Благодаря этим свойствам, она делит основание на две равные части под прямым углом, образуя прямоугольный треугольник с катетами в виде высоты и половины основания и гипотенузой, которая является боковой стороной. Поэтому, зная боковую сторону и угол α можно найти основание, высоту, и затем все остальные параметры. (рис.88.2) h_b=m_b=l_b=a sin⁡α b=2a cos⁡α

Периметр треугольника равен сумме двух боковых сторон и основания или удвоенного произведения боковой стороны на косинус угла. Площадь, как половина произведения основания на высоту, представлена в виде квадрата боковой стороны, умноженной на синус и косинус угла. P=2a+b=2a+2a cos⁡α S=hb/2=(a^2 sin⁡α)/2

Найти угол β равнобедренного треугольника через угол α можно, зная, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. (рис.88.1) β=180°-2α

Так как высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, равна высоте и биссектрисе, а две боковые стороны равны между собой, следовательно оставшиеся высоты медианы и биссектрисы опущенные на них, также между собой равны. (рис.88.3, 88.4, 88.8) Вычислить медиану, биссектрису и высоту через боковую сторону и угол α можно, подставив их в соответствующие формулы. m_a=√(a^2+2b^2 )/2=√(a^2+8a^2 cos^2⁡α )/2=(a√(1+8 cos^2⁡α ))/2 h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a=(2a cos⁡α √((4a^2-4a^2 cos^2⁡α)))/2a=2a cos⁡α √((1-cos^2⁡α)) l_a=(b√(a(2a+b) ))/(a+b)=(2a cos⁡α √(2+2 cos⁡α ))/(1+2 cos⁡α )

Средняя линия любого треугольника равна стороне, которой она параллельна, деленной на два. Если заменить сторону b на удвоенное произведение стороны a на косинус угла α, то данная средняя линия будет равна боковой стороне, умноженной на этот косинус. (рис.88.5) M_b=b/2=(2a cos⁡α)/2=a cos⁡α M_a=a/2

Если вписать в равнобедренный треугольник окружность, то ее радиус будет равен упрощенному радикалу, полученному из общей формулы радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник. Подставив в нее вместо стороны b известную боковую сторону и удвоенный косинус угла при основании, можно еще более упростить выражение. (рис.88.6) r=b/2 √((a-2b)/(a+2b))=(2a cos⁡α)/2 √((a-2*2a cos⁡α)/(a+2*2a cos⁡α ))=a cos⁡α √((1-4 cos⁡α)/(1+4 cos⁡α ))

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании, выглядит как отношение боковой стороны к двум квадратным корням из разности единицы и косинуса угла при основании во второй степени. (рис.88.7) R=a^2/√(4a^2-b^2 )=a^2/√(4a^2-4a^2 cos^2⁡α )=a/(2√(1-cos^2⁡α ))

Равнобедренный треугольник — это такой треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми. Третья сторона называется основанием.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

4. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.

6. В равнобедренном треугольнике:

— биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;

— высоты, проведенные из вершин при основании, равны;

— медианы, проведенные из вершин при основании, равны.

7. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане, проведенных к основанию.

8. Вписанная окружность точкой касания делит основание пополам.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

$∠BCD$ — внешний угол треугольника $АВС$.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$.

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Котангенсом ($ctg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Читайте также:  Приложения для заработка на машине

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$cos BOA= — cos BOC;$

$ctg BOA= — ctg BOC.$

В треугольнике $ABC$ $AB=BC, AH$ — высота, $AC=34, cos ∠BAC=0.15$. Найдите $CH$.

Так как треугольник $АВС$ равнобедренный, то $∠A=∠С$ (как углы при основании)

Косинусы равных углов равны, следовательно, $cos∠BAC=cos∠ВСА=0.15$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $АНС$.

Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Распишем косинус $∠НСА$ (он же $∠ВСА$) по определению:

Из последнего равенства найдем $НС$, для этого $0.15$ представим в виде обыкновенной дроби и воспользуемся свойством пропорции:

Если на сторонах $ВС, АВ$ и продолжении стороны $АС$ треугольника $АВС$ за точку $С$ отмечены соответственно $А_1,С_1,В_1$, лежащие на одной прямой, то

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

$/=/=/=2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

В треугольнике $АВС$ $ВС=16, sin∠A=/$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.

Воспользуемся теоремой синусов:

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности

Далее подставим числовые данные и найдем $R$

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Твой план подготовки к ЕГЭ 2018 почти готов

Всего за 3 минуты

«Такой подход способен увлечь не только школьников: корреспонденты РБК несколько часов сражались со старшеклассниками — по русскому языку и литературе им удавалось побеждать, в физике и математике школьники обычно оказывались успешнее.»

«В некоторых исследованиях геймификация помогала увеличить вовлеченность в образовательный контент на 50%, а результаты учащихся — на 40%.»

«И это все не праздные развлечения: Экзамер использует Big Data и методы машинного обучения для постоянной адаптации и персонализации плана подготовки каждого ученика.»

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Среди всех треугольников есть два особенных вида: прямоугольные треугольники и равнобедренные треугольники. Чем же эти виды треугольников такие уж особенные? Ну, во-первых, такие треугольники чрезвычайно часто оказываются главными действующими «лицами» задач ЕГЭ первой части. А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии. Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в соответствующей теме, а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники. И прежде всего, что же такое – равнобедренный треугольник. Или, как говорят математики, каково определение равнобедренного треугольника?

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

Посмотри, как это выглядит:

Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон. Две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.

И снова внимание на картинку:

Может быть, конечно, и так:

Так что будь внимательным: боковая сторона – одна из двух равных сторон в равнобедренном треугольнике, а основание – третья сторона.

Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник? Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?

Читайте также:  Почему выкидывает из варфейс во время игры
Это просто линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне. Итак, провели высоту.

Что же получилось? Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.

Это уже хорошо, но так получится в любом, самом «кособедренном» треугольнике.

Тоже два прямоугольных….

Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:

Видишь, два прямоугольных треугольника ( и ) – одинаковые! Или, как математически любят говорить? равные!

Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть – нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.

Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.

Начнём? Посмотри внимательно, у нас есть:

(ещё говорят, — общая)

И, значит, ! Почему? Да мы просто найдём и , и из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что )

Удостоверились? Ну вот, теперь у нас

А уж по трём сторонам – самый легкий (третий) признак равенства треугольников.

Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.

Отметим на картинке все одинаковые элементы (углы и стороны).

Видишь, как интересно? Получилось, что:

Как же об этом принято говорить у математиков? Давай по порядку:

  • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны
  • Высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.

(Вспоминаем тут, что медиана – линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса – угол.)

Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник. Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.

И теперь возникает другой вопрос: а как узнать равнобедренный треугольник? То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?

И оказывается, что нужно просто «перевернуть» все высказывания наоборот. Так, конечно, не всегда бывает, но равнобедренный треугольник всё-таки отличная штука! Что же получится после «переворачивания»?

I. Если в каком-то треугольнике есть два равных угла, то такой треугольник – равнобедренный (ну и естественно, углы эти окажутся при основании).

II. Если в каком-то треугольнике

  • высота и медиана или
  • высота и биссектриса или
  • биссектриса и медиана

проведённые к какой-то стороне, совпадут, то такой треугольник – равнобедренный, а сторона эта – основание.

Ну вот смотри:
Если совпадают высота и медиана, то:


Если совпадают высота и биссектриса, то:

Если совпадают биссектриса и медиана, то:


Ну вот, не забывай и пользуйся:

  • Если дан равнобедренный треугольный треугольник, смело проводи высоту, получай два прямоугольных треугольника и решай задачу уже про прямоугольный треугольник.
  • Если дано, что два угла равны, то треугольник точно равнобедренный и можно проводить высоту и ….( Дом, который построил Джек…).
  • Если оказалось, что высота разделена сторону пополам, то треугольник – равнобедренный со всеми вытекающими бонусами.
  • Если оказалось, что высота разделила угол полам – тоже равнобедренный!
  • Если биссектриса разделила сторону пополам или медиана – угол, то это тоже бывает только в равнобедренном треугольнике

Давай посмотрим, как выглядит в задачах.

Задача 1 (самая простая)

В треугольнике стороны и равны, а . Найти .

Решаем:

Что здесь – основание? Конечно, .

Вспоминаем, что если , то и .

Обозначим за . Чему там равна сумма углов треугольника? ?

Вот и ответ: .

Несложно, правда? Даже высоту проводить не пришлось.

Задача 2 (Тоже не очень хитрая, но нужно повторить тему «Прямоугольный треугольник»)

В треугольнике , . Найти .

Решаем:

Смотрим внимательно и соображаем, что раз , то .

Треугольник-то — равнобедренный! Проводим высоту (это и есть фокус, с помощью которого сейчас все решится).

Вспоминаем, что высота = медиана, то есть .

Теперь «вычёркиваем из жизни» , рассмотрим только .

Вспоминаем табличное значения косинусов (ну, или глядим в шпаргалку…)

Читайте также:  Подойдет ли 15 резина на 14 диски

Ответ: .

Заметим, что нам тут очень потребовались знания, касающиеся прямоугольного треугольника и «табличных» синусов и косинусов. Очень часто так и бывает: темы «Прямоугольный треугольник», «Равнобедренный треугольник» и «Основные формулы тригонометрии» в задачках ходят в связках, а с другими темами не слишком дружат.

Равнобедренный треугольник. Средний уровень.

Треугольник называется равнобедренным , если у него есть две равные стороны .

Эти две равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона – основание равнобедренного треугольника.

Посмотри на рисунок: и – боковые стороны, – основание равнобедренного треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника:

  • Углы при основании равнобедренного треугольника равны (на рисунке: ).
  • Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой.

Давай на одном рисунке поймём, почему так выходит. Проведем из точки высоту .

Что получилось? Треугольник разделился на два прямоугольных треугольника и . И эти треугольники равны! У них равны гипотенузы и общий катет .

Значит, у них равны все соответствующие элементы.

  • ( Вот – углы при основании равны)
  • ( оказалась биссектрисой)
  • ( оказалась медианой)

Всё! Одним махом (высотой ) доказали сразу все утверждения.

И ты запомни : чтобы решить задачу про равнобедренный треугольник часто бывает очень полезно опустить высоту на основание равнобедренного треугольника и разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Признаки равнобедренного треугольника

Верны и обратные утверждения:

  • Если в некотором треугольнике два угла равны , то он – равнобедренный .
  • Если в некотором треугольнике совпадают:
    а) высота и биссектриса или
    б) высота и медиана или
    в) медиана и биссектриса,
    проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.

Почти все из этих утверждений снова можно доказать «одним махом».

1. Итак, пусть в оказались равны и .

Проведём высоту . Тогда

– как прямоугольные по катету и острому углу.
Доказали, что – равнобедренный.

2. a) Теперь пусть в каком–то треугольнике совпадают высота и биссектриса .

Тогда снова по катету и острому углу. Значит, опять .

2. б) А если совпадают высота и медиана ? Все почти так же, ничуть не сложнее!

— по двум катетам

2. в) А вот если нет высоты , которая опущена на основание равнобедренного треугольника, то нет и никаких изначально прямоугольных треугольников. Плохо!

Но выход есть – читай его в следующем уровне теории, поскольку тут доказательство посложнее, а пока просто запомни, что если медиана и биссектриса совпали, то треугольник тоже окажется равнобедренным, и высота всё-таки тоже совпадёт с этими биссектрисой и медианой.

  1. Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, и высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
  2. Если в каком-то треугольнике найдутся два равных угла, или какие-то две из трех линий (биссектриса, медиана, высота) совпадут, то такой треугольник – равнобедренный.

Равнобедренный треугольник. Краткое описание и основные формулы

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого есть две равные стороны.

  • — боковые стороны,
  • — основание.

Свойства равнобедренного треугольника:

  • Углы при основании равнобедренного треугольника равны:
  • Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой: — высота, медиана и биссектриса.

Признаки равнобедренного треугольника:

  1. Если в некотором треугольнике два угла равны , то он – равнобедренный.
  2. Если в некотором треугольнике совпадают :
    а) высота и биссектриса или
    б) высота и медиана или
    в) медиана и биссектриса ,
    проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене "чашка кофе в месяц",

А также получить бессрочный доступ к учебнику "YouClever", Программе подготовки (решебнику) "100gia", неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

Ссылка на основную публикацию
Чем открыть файл с расширением dat
После установки каких-нибудь программ, получения почты при помощи почтовых клиентов, на компьютере создаются .dat файлы. Чаще всего они почти не...
Фото с листком для вк
Сигна в ВК – это просто фотография человека с листком бумаги, на котором обычно написано чье-то имя. Часто надписи делают...
Фото спортивных мужчин 40 лет
17. Джерард Батлер, 48 лет (kinopoisk) «Законопослушный гражданин» Джерард Батлер когда-то работал официантом, демонстратором игрушек и даже юристом. Он также...
Чем отличается frontend от backend
Переводы , 13 апреля 2017 в 19:58 Мая Устинова Вы наверняка уже слышали эти модные в сфере программирования слова «фронтенд»...
Adblock detector